СОР № 1 Алгебра 10ОГН класс Применение производной

Применение производной

Задание:

Из куска железа в форме прямоугольного треугольника с катетами 2 м и 4 м необходимо вырезать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными катетам треугольника.

Решение:

Надо определить функцию зависимости площади заданного прямоугольника от величины его сторон на катетах.

Пусть х — сторона на катете 2, а у — сторона на катете 4.

Из подобия треугольников с остатками сторон на катетах получаем:

у/(2 — х) = (4 — у)/х.

ху = (2 — х)(4 — у) = 8 — 4х — 2у + ху.

8 — 4х — 2у = 0.

Отсюда находим зависимость у от х:   у = 4 — 2х.

Получаем формулу площади искомого прямоугольника:

S = xy = x(4 — 2x) = 4x — 2x².

Производная S’ = 4 — 4x = 0. Это экстремум функции. х = 4/4 = 1.

Определяем знаки производной левее и правее точки х = 1.

х =      0,5       1        1,5

y’ =      2         0         -2.     Как видим, в точке х = 1 максимум.

у = 4 — 2*1 = 4 — 2 = 2.

Ответ: вписанный прямоугольник имеет стороны 1 и 2.