СОР № 1 Геометрия 9 класс Окружность. Многоугольники

Окружность. Многоугольники

Задание:

Из точки А, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16, а расстояние от точки А до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Постройте чертеж и найдите радиус окружности, если расстояние от центра окружности до секущей равно 5.

Решение:

Пусть точка О — центр окружности, точки пересечения секущей с окружностью В (ближняя к А) и С (дальняя от А), и точка касания (касательной) D. По теореме (или свойству, я уже не помню) о касательной и секущей, имеем AD*AD=AB*AC. У нас AD=16, AC=32, тогда АВ=8 и ВС=32-8=24 см. Проведем радиусы ОВ и ОС. Получим равнобедренный треугольник ОВС. Проведем в нем высоту ОК (она же и медиана и биссектриса). Получатся два прямоугольных треугольника. Очевидно, что ВК=КС=12. По условию, ОК=5. Из треугольника ОКВ по Пифагору получаем ОВ=13.