Ответы СОР\СОЧ Геометрия

Стереометрия аксиомаларын аяқтаңыз. Олардың әрқайсысына сәйкес келетін сурет пен математикалық символдармен жазылу түрлерін 1 және 2-кестелерден таңдап, аксиоманың астында орналасқан ұяшықтарға жазыңыз.
Аксиома 1. Әрбір жазықтықтың бойында жататын__________________________________

Аксиома 2. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда _____________

Аксиома 3. Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі бар болса, онда ___________________
_____________________________________________________________________________

1-Кесте.
Стереометрия аксиомаларының геометриялық интерпретациясы

2-Кесте.
Стереометрия аксиомаларының математикалық символдармен жазылуы

Стереометрия аксиомаларының салдарын аяқтаңыз. Әрбір салдарға сәйкес келетін сурет
пен математикалық символдармен жазылу түрлерін 3 және 4-кестелерден таңдап, төмендегі
ұяшықтарға жазыңыз.
Салдар: Түзу мен оның бойында жатпайтын нүкте ________________________________
_____________________________________________________________________________Салдар: Егер түзудің екі нүктесі берілген жазықтықта жатса, онда____________________
_____________________________________________________________________________Салдар: Бір түзу бойында жатпайтын үш нүкте ____________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________Кесте.
Стереометрия аксиомалары салдарының геометриялық интерпретациясы-Кесте.
Стереометрия аксиомалары салдарының математикалық символдармен жазылуы

а) Три точки в пространстве не определяют положение плоскости, которая проходит через них. Как расположены эти точки?
b) Прямые a и b параллельны. Прямая a пересекает плоскость α в точке A, а прямая b пересекает плоскость α в точке B. Точки

Укажите взаимное расположение прямых EF и AB.

Дұрыс алтыбұрышты призма берілген.
a) АА1 түзуіне параллель болатын түзулерді жазыңыз. b) ВС түзуіне айқас түзулерді жазыңыз.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки K и F – середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. M и P – точки пересечения диагоналей граней A1D1DA и DCC1D1 соответственно.

Заполните таблицу расположения прямых.

Кестеде түзулердің кеңістікте орналасу жағдайлары бейнеленген

Төмендегі сөйлемдерді әр суретке сәйкес болатындай, ұяшықтарға жазыңыз:
a) түзулер беттеседі; түзулер параллель; түзулер қиылысады; түзулер айқас;
b) түзулер бір жазықтықта жатады; түзулер бір жазықтықта жатпайды;
c) түзулердің екі ортақ нүктесі бар; түзулердің бір ортақ нүктесі бар;
түзулердің ортақ нүктелері жоқ; түзулердің шексіз көп ортақ нүктелері бар.

Прямые a и b пересекаются в точке M. Плоскости α и β параллельны. Прямая a пересекает плоскость α в точке A, а плоскость β в точке B. Прямая b пересекает плоскость α в точке C, а плоскость β в точке D.

Кеңістіктегі параллель түзулер анықтамасын төменде берілген нұсқалармен аяқтаңыз.
Анықтама: Кеңістіктегі екі түзу параллель деп аталады, егер _______________________
a) олар қиылыспаса;
b) олар бір жазықтықта жатса;
c) олар бір жазықтықта жатса және қиылыспаса

Отрезок АВ лежит в плоскости α. Точка М не принадлежит плоскости α. Точки К и Р – середины отрезков МА и МВ соответственно. Докажите, что прямая КР параллельна плоскости α.Выполните рисунок по условию задачи.

Айқас түзулердің анықтамасын аяқтаңыз және суретін салыңыз.
Анықтама. Кеңістіктегі айқас түзулер деп аталады, егер

Постройте наклонный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Найдите центры граней  ABB1A1 и  CDD1C1 и проведите через найденные точки прямую.

Суретте ABCDA1B1C1D1 кубы бейнеленген. Түзулердің өзара орналасуын анықтаңыз:
1) АВ және C1D1;
2) DD1жәнеBB1;
3) AD1 және BC1;
4) АВ және A1C1

Параллельные плоскости α и β пересекают сторону ?? угла ??? соответственно в точках P и H, а сторону АС этого угла – соответственно в точках Q и К. Найдите АН и АК, если РН=2РА, РН=12 см, АQ= 5 см. Выполните рисунок по условию задачи.

C нүктесі – AB кесіндісінің ортасы. А, В және С нүктелері арқылы өтетін параллель түзулер
 жазықтығын сәйкесінше А1, В1 және С1 нүктелерінде қиып өтеді.
Егер, А А1 =3 см, В В1 =5 см болса, онда СС1-ді табыңыз.

Анықтамаларды толықтырып жазыңыз.
Табаны ____________________________________________________________________ параллелепипед деп атайды.
Бүйір қырлары табан ________________________________________________________ тік параллелепипед деп атайды.
Тік параллелепипедтің бүйір жақтары __________________________________________
____________________________, ал табандары ___________________________ болады.
Ал, табаны да ______________________ болатын тік параллелепипедті тік бұрышты параллелепипед деп атайды.
Барлық қырлары өзара тең тік бұрышты параллелепипед __________ деп аталады.
____________________________________________________________________________
______________________________________________________ тетраэдр деп аталады.

a) Көлбеу параллелепипедті, тік параллелепипедті, тік бұрышты параллелепипедті,
тетраэдрді кеңістікте бейнелеңіз;
b) салынған суреттер бойынша элементтерін (төбелерін, қырларын, жақтарын) жазыңыз.

α жазықтығы OP және OQ кесінділерінің орталары – M және N нүктелері арқылы өтеді.
Егер, PQ = 8 см болса, онда MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

S нүктесі ABCD параллелограмм жазықтығына тиісті емес. Параллелограмның әрбір
қабырғасы оған қарсы жатқан қабырға мен S нүктесі арқылы өтетін жазықтыққа параллель
болатынын дәлелдеңіз

Бір жазықтықта жатпайтын MN, MK және MP кесінділерінің орталары арқылы α
жазықтығы жүргізілген. α жазықтығы (NKP) жазықтығына параллель екенін дәлелдеңіз.

Өзара параллель α және β жазықтықтары арасында орналасқан О нүктесі арқылы a және b
түзулері жүргізілген. a∩α= A, a∩β = C , b∩α= B және b∩β= D , әрі АО:АС=1:3.
Егер, ВО = 4 см болса, онда ОD-ны табыңыз

Верно ли, что две плоскости могут иметь три общие точки, которые не лежат на одной
прямой? Обоснуйте ответ.

Верно ли, что если прямая перпендикулярна основаниям трапеции, то она
перпендикулярна плоскости трапеции? Обоснуйте ответ.

Дан куб ABCDA1 B 1 C1 D1 . Точка К – середина ребра  CC1 .

Через точку К проведите прямую:
а) KL , параллельную прямой В 1 С ;

b) KE , скрещивающуюся с прямой В С

Отрезок АВ не имеет общих точек с плоскостью a . H – середина отрезка АВ. Из точек А и
В проведены перпендикуляры АР и ВМ к плоскости a , длины которых соответственно равны
9 см и 12 см. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки H к
плоскости a. Выполните рисунок по условию задачи.

Объясните, с помощью аксиом стереометрии , что менее устойчиво на неровном полу: табуретка на трех ножках или стул на четырех ножках?

Плоскость  пересекает стороны KM и KN треугольника KMN в точках Р и Е
соответственно. KP : PM = KE : EN = 3: 2.
а) Докажите, что MN | |a .
b) Известно, что PE = 6 . Найдите MN.

Заполните таблицу по теме «Аксиомы стереометрии и их следствия»

На рисунке DABC – правильная пирамида. Докажите, что плоскости BCD  ADK .

Дано: точки C BA , , и D не лежат в одной плоскости.

Укажите: 1) плоскости, которым принадлежит: a) прямая AB ; b) точка ; F c) точка ; C 2) прямую пересечения плоскостей ABC и ACD.

На рисунке  ABCDA 1 B 1 C 1 D1 — куб. Точка Р – середина ребра A1 B1 .
Через точку Р проведите сечение куба, параллельное плоскости  AB 1 D1 .

Дано изображение куба. Каково взаимное расположение (на модели куба) следующих пар прямых:

1) QP и AD1, если Q и Р- середины DD1 и AD;

2) AD1 и A1P;

3) MN и AD1;

4) CD и A1 P;

5) MN и AB?

Для пересекающихся прямых укажите точку пересечения, для скрещивающихся и параллельных прямых укажите признак, на который опираетесь.

AC =6, CK =8. 1) Выясните, каково взаимное расположение прямых АВ и СD. 2) Найдите длину СD.

1. Докажите, что 1 1CB || BC . 2. Найдите 1 AC

К плоскости ромба ABCD проведен перпендикуляр OP через точку Oпересечения диагоналей.

a) Выполните рисунок.

b) Докажите, что

Установите правильную последовательность действий в доказательстве утверждения: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. 1

Дано: прямые a и b пересекаются в точке М. 1 AA =3, 1 MB =12. Найдите длины отрезков A1B1, MB и BB1.

Дано ABCD- прямоугольник. Прямая MB перпендикулярна плоскости ABC . Докажите перпендикулярность плоскостей AMB и MCB.

Дұрыс үшбұрышты призманың табан қабырғасы 6 см, ал бүйір жағының диагоналі 10 см.
Призманың бүйір бетінің және толық бетінің ауданын табыңыз.

Тік призманың табаны теңбүйірлі трапеция. Трапецияның бүйір қабырғасы 13 см, ал табандары 11 см және 21 см. Призманың диагональдық қимасының ауданы 180² см Призманың толық бетінің ауданын табыңыз.

Суретте ABCDEFA1B1C1D1E1F1 дұрыс алтыбұрышты призма кескінделген. Призманың
биіктігі және табанының қабырғасы 3 см.Құмырсқа призманың тек қырымен немесе бүйір жағымен жүре алады.
a) Бүйір бетінің жазбасын сызыңыз.
b) Құмырсқаның А төбесінен ?1 төбесіне жететіндей ең қысқа ара-қашықтықты жазбада бейнелеп, ара-қашықтықты есептеңіз.
c) Егер құмырсқа призманың табан жазықтығымен және қырымен жүре алатын болса, онда оның D1 нүктесіне жететін ең қысқа жолын (b) пунктіндегі жүрген жолының ұзындығыменсалыстырыңыз.

MABCD пирамидасының табаны ABCD тіктөртбұрышы болып табылады. MA ⊥ (ABC ). Егер АС = 5 см, DC = 4 см, ∠MDA = 60° болса, онда МА қырын табыңыз

SABCD пирамиданың табан қабырғалары 6см және 8 см ABCD тік төртбұрыш. Пирамиданың барлық бүйір қырлары 13см.
а) пирамиданың SO биіктігін салыңыз;
b) АО, ВО, СО, DО кесінділерінің теңдігін дәлелдеңіз.
c) ABCD тіктөртбұрышында О нүктесінің орналасуын негіздеңіз және пирамиданың SO биіктігін табыңыз

a) Үшбұрышты пирамиданың бүйір қырлары табанымен бірдей бұрыштар жасайды. Пирамиданың төбесінің табан жазықтығына ортогональ проекциясы табанынан тысқары жатыр. Пирамиданың табанындағы үшбұрыштың түрін анықтаңыз (бұрыштары бойынша).
b) Үшбұрышты пирамиданың бүйір қырлары табанымен бірдей бұрыштар жасайды. Пирамиданың табаны тікбұрышты үшбұрыш. Пирамиданың төбесінің табан жазықтығына ортогональ проекциясын орналасуын анықтаңыз. Пирамиданың гипотенуза арқылы өтетін бүйір жағы табанымен қалай орналасқан?

Дұрыс үшбұрышты қиық пирамида табанының қабырғалары 4 дм-ге және 2 дм-ге тең, ал бүйір қыры 2 дм –ге тең . Қиық пирамиданың биіктігін және бүйір жағының биіктігін табыңыздар

Табандардың қабырғалары 7 және 5, ал диагоналі 9-ге тең болатын дұрыс қиық төртбұрышты пирамиданың биіктігін табыңыз

Известно, что n-угольная пирамида имеет 48 рёбер.
Чему равно n?

В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом 60ºи стороной 8 см.Найдите диагонали призмы, если ее боковое ребро равно 4 см.

Строители собрали конструкцию в форме пирамиды, две равные боковые грани которой
перпендикулярны основанию, а третья грань образует с ней угол в 60 .
Основание конструкции расположено горизонтально на поверхности земли.
a) Постройте изображение конструкции.
b) Из вершины конструкции, находящейся над землей, опустили отвес (груз на
верёвочке) до основания. Укажите на изображении точку, в которую попадет отвес.
c) Две равные стороны основания равны 10 м, а третья сторона 12 м. Найдите высоту
конструкции.

Палатка туристов имеет форму треугольной призмы, как показано на рисунке.
Известно, что AB = AC =1,4 м, BC =1,6м, 1 BB = 2,5 м, а высота палатки равна 1,2 м.

a) Найдите площадь материала, необходимого для изготовления всей палатки, включая
днище.
b) Материал для изготовления палатки продается в рулонах шириной 3,7 м.
Ни одна из граней палатки не должна быть сшита из кусков, швы только по ребрам
палатки.
Нарисуйте схематично, как расположить на ткани выкройку палатки, чтобы расход
ткани был наименьшим. (Не учитывать припуски на швы)
Сколько метров ткани потребуется?
c) Каркас палатки изготовлен из алюминиевых трубок.
Сколько метров трубок потребовалось для палатки? (Не учитывать стыки)

a) Нарисуйте изображение правильной треугольной пирамиды. Изобразите апофему и высоту пирамиды.
b) Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро –2√19 см.
Найдите высоту пирамиды.

Запишите номера заданий в порядке возрастания числовых значений, являющихся
ответами на данные вопросы.
1. Сколько ребер у шестиугольной призмы?
2. Какое наименьшее число граней может иметь призма?
3. Сколько диагоналей имеет пятиугольная призма?
4. Укажите величину угла между боковым ребром и основанием прямой призмы.
5. Сколько диагоналей у треугольной призмы?
6. Найдите длину ребра куба, если длина его диагонали равна 18 см.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
а) Постройте призму ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
Найдите:
b) расстояние между точками B и E;
c) pасстояние между точками B и E1;
d) угол DAB;
e) угол наклона отрезка ВЕ1 к плоскости основания призмы. Ответ округлите до 0,10
.

Даны развертки призм.

a) Постройте призму по ее развертке. Определите вид призмы.
b) Сторона основания призмы равна a, высота равна h. Найдите площадь боковой и
полной поверхности призмы.

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник, один из
катетов которого равен 6см, а площадь равна 24 см2. Площадь боковой поверхности
призмы равна 240 см2. Найдите длину бокового ребра.

Меньшая диагональ прямого параллелепипеда равна 9 см. Одна из сторон основания
больше второй стороны в 2 раза. Синус острого угла основания равен 0,6. Боковое ребро
равно 4 см. Определите полную поверхность параллелепипеда.

Геометриялық денеге екі мысал келтіріп, жазықтықта кескіндеңіз

Боковые ребра произвольной пирамиды равны.
a) Докажите, что высота пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около ее основания.
b) Одно из боковых ребер образует с основанием угол в 450. Найдите углы, которые составляют остальные ребра с плоскостью основания.

Суретте берілген екіжақты бұрышты есептеңіз

Высоты всех боковых граней, проведенные из вершины произвольной пирамиды равны.
a) Докажите, что высота пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в ее основание;
b) Один из двугранных углов при основании пирамиды равен 560 . Найдите остальные двугранные углы при основании.

Көпжақтың анықтамасын жазыңыз және көпжаққа екі мысал келтіріп, кескіндеңіз

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота равна

a) Постройте чертеж. Покажите на чертеже точку, являющуюся проекцией вершины
пирамиды на плоскость основания.
b) Найдите длину апофемы пирамиды.
c) Вычислите двугранный угол при основании пирамиды. Результат округлите до 0,1 0.

А1 А2 А3 А4 А5 A6 B1 В2 В3 В4 В5 B6
— көлбеу призманың элементтері бойынша кем дегенде екі
мысалдан келтіріңіз.
Қабырғасы — ___________________
Іргелес жақтары — __________________
Қарама-қарсы жақтары — _______________
Диагональдары — _______________
Бүйір қырлары — ____________
Биіктігі — ___________

Длины сторон оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 10 см и 4
см, а высота пирамиды 2 см. Найдите:
a) длину апофемы пирамиды;
b) длину бокового ребра.

Тік призманың табаны — ромб, ал призманың диагоналдары 8 м және 5 м. Призма биіктігі 2 м. Призма табанының қабырғасын табыңыз

Үшбұрышты көлбеу призманың бүйір қырларының арақашықтығы 17 см, 10 см және 21 см. Оның үлкен жағынан қарама-қарсы қырына дейінгі қашықтықты табыңдар

Используя данные чертежа, заполните таблицу:

Сопоставьте вопросы 1– 8 и ответы на них А – Н:

A. высота
B. прямая
C. вершина
D. четырехугольник
E. параллелограмм
F. параллелепипед
G. ребро
H. шестиугольник

Выполните чертеж призмы по заданной развертке. Найдите площадь боковой и полной
поверхности призмы.

Основанием призмы является правильная шестиугольная призма со стороной 4 см. Длина
бокового ребра равна 12 см.
a) Выполните развертку призмы.
b) Найдите площадь полной поверхности призмы.

Алия решила изготовить из бумаги модель палатки, как на рисунке. У нее есть 2 листа
бумаги размером 21см30см. Сможет ли Алия изготовить данную модель (учитывать вход
в палатку)?
Ответ обоснуйте

Ниже приведены два утверждения.

Установите соответствие между утверждениями 1 и 2 и выводами А – Н.
A. Высота пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около ее
основания.
B. Все двугранные углы при основании равны.
C. Все плоские углы при вершине равны.
D. Высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в ее основание.
E. Все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания.
F. Все апофемы пирамиды равны.
G. Пирамида является правильной.
H. Высота пирамиды проецируется в одну из вершин основания.

Основание пирамиды – ромб с диагоналями 10 и 18 см. Высота пирамиды проходит через
точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см.
a) Найдите большее боковое ребро пирамиды.
b) Двугранный угол при основании равен 600
. Найдите апофему боковой грани.

Постройте усеченную пирамиду ABCDEFGH. По чертежу ответьте на вопросы:
Назовите:
a) нижнее основание.
b) верхнее основание.
c) боковые ребра.
d) Какими фигурами являются боковые грани усеченной пирамиды?
e) Постройте высоту пирамиды. Обозначьте ее КМ. Покажите на чертеже почему
отрезок КМ является высотой.

В треугольной усеченной пирамиде длины сторон меньшего основания равны 10 см, 5 см и
4 см, длина меньшей стороны большего основания пирамиды равно 12 см. Найдите
стороны большего основания

Дана правильная усеченная пирамида, ее высота равна 4, точки О и О1 – центры оснований,

Найдите длину АС.

Сколько граней проходит через одну вершину в шестиугольной призме?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Все боковые грани усечённой правильной пирамиды являются…
А) ромбами
B) трапециями
C) прямоугольниками
D) квадратами

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:
A) диагональю
B) ребром
C) гранью
D) осью

Какие из многогранников являются призмами?

A) 1, 2
B) 1, 3
C) 1, 4
D) 2, 4

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8, 10, 4 √2 . Найдите диагональ параллелепипеда.

Выполните построение правильной четырёхугольной пирамиды.
На чертеже постройте и укажите её высоту и апофему

Выполните развертку правильной треугольной призмы.
а) На развертке укажите буквы, соответствующие вершинам призмы.
b) На развертке укажите местонахождение точки М.

Найдите апофему правильной четырехугольной пирамиды, высота которой 12 см, а диагональ основания 10√2 см.

Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4,∠ ВСВ1-∠СВ1В 1. Найдите площадь полной поверхности призмы.

На рисунке в 5 раз больше .  на 4

больше 

.  Найдите градусную меру .

Углы АВС и СВD смежные. Луч BM – биссектриса угла АВС, угол АВМ на 33

больше угла СВD. Выполните рисунок и найдите углы АВС и СВD.

Луч света, исходящий из точки М, отразился от прямой АВ в точке С и попал в точку N, как показано на рисунке (угол падения равен углу отражения).

a) Постройте биссектрису угла МСN.

b) Докажите, что биссектриса угла МСN перпендикулярна прямой АВ

Укажите названия следующих элементов на рисунке (прямая, луч, отрезок):

АОВ жазыңқы бұрышы берілген.
і) АВ түзуімен анықталған жарты жазықтықтың біріндегі ∠??? тік бұрышын, ОС сәулесі жатқан жарты жазықтықта ∠??? доғал бұрышын сызыңыз

a) Начертите угол АОВ;
b) Внутри угла проведите луч ОС;
c) Найдите величину ,

a) ВС түзуін сызып, анықталған жарты жазықтықтың бірінде ∠???=600 болатындай етіп А нүктесін белгілеңіз.
b) А,В,С нүктелерін қосқанда пайда болған фигуранын атын жазыңыз.
c) ВС түзуінің бойында неше сәуле орналасқан?

Найдите длину отрезка СЕ.

О нүктесі ұзындығы 10 cм болатын АВ кесіндісінің ортасы. ОА сәулесінен ОС=2 см болатындай С нүктесі белгіленген.
a) ВС мен СА кесінділерінің ұзындығын табыңыз;
b) Транспортирмен ОА сәулесінен бастап өлшемі 23° болатындай ∠??? салыңыз

а) Запишите угол смежный∠HOB ;
b) Запишите две пары вертикальных углов;
c) Вычислите величину ∠HOB;
d) Найдите величину∠AOG .

АВ және DС түзулері О нүктесінде қиылыса отырып төрт бұрыш құрайды. Олардың екеуінің қосындысы 800-қа тең. Белгісіз бұрыштарды табыңыз

АОВ және ВОС сыбайлас бұрыштар. OD сәулесі ОВ сәулесіне перпендикуляр . Егер ∠???=350 болса, онда ∠??? бұрышын табыңыз

Для каждой геометрической фигуры, напишите номера рисунков, на которых она изображена с верным обозначением

Точка: рисунки № _________________

Прямая: рисунки №___________________

a) Отметьте точки К, Р и N так, чтобы через них можно было провести прямую. Как можно назвать эту прямую? Запишите все возможные случаи.

b) Отметьте на прямой точки А, В, С так, чтобы А и В лежали по одну сторону от С, а точки А и С — по одну сторону от В.

Отметьте на плоскости три точки А, В и С проведите несовпадающие прямые k и d так, чтобы точки А и В принадлежали прямой k, точки В и С принадлежали только прямой d.

Укажите верные утверждения:

Найдите на рисунках отрезок, полуплоскость, угол, луч, треугольник и подпишите  названия.

Закончите предложение:
a) Из любых трех различных точек прямой одна и только одна __________.
b) Для любых двух точек прямой существует такая третья точка на этой прямой, что вторая ____________.
c) Если прямая лежит на плоскости, определяемой тремя точками A, B, C, не проходит ни через одну из этих точек и пересекает отрезок AB, то __________.

Әр геометриялық фигура үшін дұрыс белгілеуді пайдаланып олар бейнеленген сурет
номерлерін теріп жазыңыз:

Нүкте: суреттер № _________________
Түзулер: суреттер №___________________

a) На прямой последовательно откладываются точки A, B, C и D, причем
AB = BC = CD = 6. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD.

b) На прямой выбраны три точки A, B и C, причем AB = 1, BC = 3. Чему может быть равно AC? Укажите все возможные варианты.

a) А, В және С нүктелерін олар арқылы түзу жүргізе алатындай етіп салыңыз. Осы түзуді
қалай атауға болады? Барлық жағдайларды жазып көрсетіңіз.
b) Түзу бойынан K, M және N нүктелерін мына шарттар орындалатындай етіп белгілеңіз: K
және M нүктелері N нүктесінің бір жағында жататындай, ал K және N нүктелері M
нүктесінің бір жағында жататындай.

Закончите предложения:
А) Каждый отрезок имеет определенную длину_______________.
В) Длина отрезка равна сумме ______________.
С) Каждый угол имеет определенную градусную меру _______________.
D) Развернутый угол равен ____________________.
Е) Градусная мера угла равна сумме _________________.

m және n түзулері С нүктесінде қиылысады, ал С дан өзге Н нүктесі m түзуінде жатыр. Н
нүктесі n түзуінде жата ма?

Найдите значение х для каждой задачи.

Дұрыс тұжырымдарды көрсетіңіз

Точка Т лежит на прямой МК между точками М и К. Найдите расстояние между серединами отрезов МТ и ТК, если МТ=17 см, ТК=12 см.

Берілген суреттерден кесіндіні, жарты жазықтықты, бұрышты, сәулені, үшбұрышты анықтап, атауларын жазыңыз.

Рекомендация учителю: разрежьте таблицу на отдельные карточки и попросите учащихся собрать аксиому существования треугольника

Төмендегі сөйлемдерді толықтырыңыз:
a) Түзу бойындағы үш нүктенің біреуі, тек біреуі ғана
________________________________.
b) Түзу бойындағы екі нүкте үшін, екінші нүкте _________________________________
осы түзудің бойынан үшінші бір нүкте табылады.
c) Егер түзу A, B, C нүктелерімен анықталған жазықтыққа тиісті болып, осы нүктелердің
бірінен де өтпейтін болса және АВ кесіндісін қиятын болса, онда
_______________________.

Трегольник ABC равен треугольнику DEF. Запишите равенство соответствующих элементов.

Ұзындығы 9 см болатын АВ кесіндісін салыңыз. С нүктесі АВ түзуінде жатады. Егер
СА=2СВ болса, СА және СВ арақашықтығы нешеге тең болатынын табыңыз
(жауабыңызды жазбаша беріңіз).

Соедините стрелками равные треугольники

∠АОВ=100° бұрышын ОС сәулесі ∠АОС : ∠ВОС = 2 : 3 қатынасы орындалатындай екі
бұрышқа бөледі. ∠АОС және ∠ВОС бұрыштарының градустық шамасын табыңыз.

Начертите прямую а. Отметьте точки М и К не принадлежащие прямой а и лежащие по разные стороны от нее. Проведите через точки М и К прямые, параллельные прямой а.
a) Сколько прямых можно провести через каждую из точек?
b) Установите взаимное расположение прямых, проходящих через точки М и К
c) Подтвердите ваши предположения, сформулировав соответствующую аксиому и следствие из нее.

Төмендегі А, В, С, D, Е жəне F аксиомаларының қайсысы салу аксиомалары
болатындықтарын анықтаңыз:
A) Түзу бойындағы үш нүктенің біреуі, тек қана біреуі қалған екеуінің арасында орналасады;
B) Берілген жарты жазықтықтағы сәуле бойынан 1800 кіші болатын, градустық өлшемі
берілген бұрышты өлшеп салуға болады және ол тек қана жалғыз болады;
C) Әрбір кесіндінің нөлден үлкен ұзындығы бар. Кесіндінің ұзындығы оның ішкі нүктесімен
бөлінген бөліктерінің қосындысына тең;
D) Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі;
E) Сәуле бойынан оның бастапқы нүктесінен бастап, ұзындығы берілген кесіндіні өлшеп
салуға болады және ол тек қана жалғыз болады;
F) Кез келген екі нүкте арқылы түзу, тек қана бір түзу жүргізуге болады.

В каждом наборе фигур найдите равные и раскрасьте их.

ОА сәулесі бойынан ұзындықтары 3 см және 2 см болатын кесінді салыңыз. Пайда болған
кесінділердің шеткі нүктелерін В және С әріптерімен белгілеп, ВС кесіндісінің ұзындығын
табыңыз. Барлық жағдайды қарастырыңыз.

Постройте фигуру, равную данной, используя отрезок AL в качестве начала построения

∠АОВ=90°, ∠АОК=40°, ∠МОВ=30° болатындай, ∠АОВ-ны және ОК мен ОМ сәулелерін
салыңыз. ∠КОМ-ның градустық шамасын табыңыз.

Жұптық жұмыс
Берілген үшбұрышқа тең үшбұрыштың бар болуы аксиомасын құрастырыңыз

Нұсқаулық: жоғарыдағы кесте ұяшықтарын жеке-жеке қиып, араластырып, оқушыларға
құрастыруға ұсыныңыз. Бұл кестені пазл немесе домино түрінде де жасауға болады

Используя чертеж, определите:

a) угол смежный углу :___________
b) угол смежный углу :___________
c) угол вертикальный углу :_______
d) угол вертикальный углу :_______

Какие из высказываний верны, и какие неверны? Ответ обоснуйте.

Суреттегі үшбұрыштардың сәйкес тең қабырғалары мен бұрыштарын жазып көрсетіңіз:

Используя чертеж, найдите:

Төмендегі үлгі бойынша кестені толтырыңыз:

a) Найдите величины всех углов, полученных при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 42°.

b) Найдите величины смежных углов, если один из них в 3 раза меньше другого.

Мына түзулерді салыңыз: a||b||c және d||e, мұндағы a түзуі d түзуіне параллель емес. Осы
нүктелердің қиылысу нүктелерінің саны қанша болатындығын табыңыз

На нижеприведенном рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Докажите, что .

AL кесіндісінен бастап, берілген фигураға тең фигураны салыңыз.

Берілген фигураларды пайдаланып

a) периметрлерін салыстырыңыз;
b) периметрлері тең фигураларды тең фигуралар деп атауға бола ма?
c) аудандарын салыстырыңыз;
d) аудандары тең фигураларды тең фигуралар деп атауға бола ма?
e) периметрі мен ауданы тең фигураларды тең фигуралар дейміз бе?

Нұсқаулық: дәл осындай үлгіде периметрлері тең, бірақ аудандары әртүрлі және аудандары
тең, бірақ периметрлері тең емес тіктөртбұрыштарды қарастыруға болады.

Мына тұжырымдамалардың қайсысы ақиқат, қайсысы жалған? Кестеде «√ » таңбасымен
белгілеңіз. Жауабыңызды негіздеңіз.

Сызбаны қолданып табыңыз

a) Екі түзу қиылысқанда пайда болған екі бұрыштың айырмасы 42° болса, онда барлық
бұрыштардың шамасын табыңыз.
b) Сыбайлас бұрыштардың бірі екіншісінен 3 есе кіші болса, онда осы бұрыштардың
шамасын табыңыз.

Төмендегі суретте О нүктесінде қиылысатын үш түзу бейнеленген. ∠1+ ∠2 + ∠3 = 180° болатындығын дәлелдеңіз

∠1және ∠2 бұрыш сыбайлас, ал ∠2 және∠3— вертикал бұрыштар. Егер бұрыш∠1 сүйір
болса, онда ∠2 және∠3 бұрыштарды салыстырыңыз

Сурет бойынша сұрақтарға жауап беріңіз

a) Нүктелердің қайсысы барлық үш түзуге де тиісті екенін анықтаңыз.
b) Біреуі қалған екеуінің арасында жататын нүктелерді атаңыз.

Точки А, В, С, D лежат на одной прямой а. Точка С лежит между точками А и В, точка D не лежит между точками А и В. Точка Е не принадлежит этой прямой. Выполните чертёж, рассмотрите все возможные варианты.

Точка F лежит между точками C и D, точки M и K – середины отрезков CF и FD. Длина отрезка CD= 10,2 см. Выполните чертёж по условию задачи. Найдите длину отрезка MK.

Дан угол АОВ, точка Р принадлежит стороне ОВ.

а) Постройте луч ОС, проходящий между сторонами угла АОВ.

b) Постройте развёрнутый угол СОК.

с) Какие из отмеченных точек на плоскости принадлежат углу ВОК?

Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами 5 м и 6 м и меньшим основанием 7 м. Найдите периметр треугольника.

MPLT теңбүйірлі трапецияның кіші табанындағы Р төбесі арқылы МТ үлкен табанына РН биіктік жүргізілген. Трапецияның орта сызығының ТН кесіндісінің ұзындығына қатынасын табыңыз.

В треугольнике АВС, АВ = АС. Медиана к боковой стороне делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки, больший из которых равен 8. Найдите длину этой высоты.

Теңбүйірлі трапецияның кіші табаны – 8см, ал бүйір қыры – 9см. Теңбүйірлі трапецияның доғал бұрышынан шығатын биссектрисалар, үлкен табанында жатқан, бір нүктеде қиылысады. Трапецияның орта сызығын табыңыз.

АВС үшбұрышында, О нүктесінде қиыласатын, АК және ВТ медианалары жүргізілген. ВО, ОТ, АО, КО кесінділерінің ұзындықтарын анықтаңыз, егер ВТ=18 см, ал АК=24 см болса.

Доғалбұрышты АВС үшбұрышының АА1 және ВВ1 биіктіктері О нүктесінде қиылысады. ВАО және ВСО бұрыштары тең болатынын дәлелдеңіз

АВС үшбұрышында А бұрышы 60˚ тең, ал ∠В=82° . Үшбұрыштың АD, BE, CF биссектрисалары О нүктесінде қиылысады. ∠AOF табыңыз.

Кестедегі мәліметтерді пайдаланып, n-бұрышты көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысының формуласын жазыңыз.
Диагональдарының саны

Тік төртбұрыш қабырғаларының орталары ромб төбелері болып табылады. Осы ромб қабырғаларының орталары тік төртбұрыштың төбелері болып табылатындығын дәлелдеңіз

Параллелограммның периметрі 56 см. Егер үш қабырғасының қосындысы 40 см болатын болса, параллелограмның қабырғаларын табыңыз.

Ағаш көлеңкесінің ұзындығы шамның көлеңкесінен 6 см артық. Егер ағаш көлеңкесі 8м, болса, онда AC ұзындығы NC ұзындығынан 4 есе артық екенін көрсетіңіз.

Тікбұрышты трапецияның бүйір қабырғасы мен бір диагоналі өзара тең. Егер бүйір қабырғасы 4 см, ал биіктігі 2 см болатын болса, трапецияның орта сызығын табыңыз

??? үшбұрышының ??,??,?? орта перпендикулярлары берілген. ??= 20 см ,∠?АС=30°−қа тең. Егер L –АС қабырғасының ортасы болса, ?L ұзындығын табыңыз.

Укажите, какие из фигур, изображенных на рисунках 1-6, являются:

a) многоугольниками: __________________________________________
b) выпуклыми многоугольниками: __________________________________________
c) шестиугольниками: __________________________________________

Отметьте на рисунках 1-3 элементы многоугольника, запишите их буквенные обозначения

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 3600.

Кестедегі мәліметтерді пайдаланып, n-бұрышты көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысының формуласын жазыңыз.
Диагональдарының саны

Мера каждого угла правильного многоугольника равна 144˚. Используя формулу нахождения суммы внешних углов, определите количество сторон данного многоугольника.

Тік төртбұрыш қабырғаларының орталары ромб төбелері болып табылады. Осы ромб қабырғаларының орталары тік төртбұрыштың төбелері болып табылатындығын дәлелдеңіз

Найдите:
a) сумму внутренних углов восьмиугольника;
b) величину одного угла в правильном пятиугольнике;
c) количество углов многоугольника, если сумма его внутренних углов равна 900˚;

Заполните таблицу

Параллелограммның периметрі 56 см. Егер үш қабырғасының қосындысы 40 см болатын болса, параллелограмның қабырғаларын табыңыз

Сумма градусных мер трех углов параллелограмма АВСD равна 250˚. Найдите градусные меры всех углов данного параллелограмма.

Ағаш көлеңкесінің ұзындығы шамның көлеңкесінен 6 см артық. Егер ағаш көлеңкесі 8м, болса, онда AC ұзындығы NC ұзындығынан 4 есе артық екенін көрсетіңіз.

Биссектриса острого угла параллелограмма делит противолежащую сторону на отрезки
10 см и 14 см. Найдите периметр параллелограмма.

Тікбұрышты трапецияның бүйір қабырғасы мен бір диагоналі өзара тең. Егер бүйір қабырғасы 4 см, ал биіктігі 2 см болатын болса, трапецияның орта сызығын табыңыз.

Укажите, какие утверждения являются признаками параллелограмма:
А) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
В) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
С) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
D) Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
E) Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

На диагонали ВD параллелограмма АВСD отмечены две точки P и Q так, что PВ=QD. Доказать, что четырёхугольник APCQ – параллелограмм.

??? үшбұрышының ??,??,?? орта перпендикулярлары берілген. ??= 20 см ,∠?АС=300−қа тең. Егер L –АС қабырғасының ортасы болса, ?L ұзындығын табыңыз

Соотнесите название фигуры, рисунок и определение.

Заполните таблицу:

Сторона ромба образует с его диагоналями углы, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите все углы ромба.

Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Углы, образованные при пересечении диагоналей прямоугольника, относятся 2:7. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами данного прямоугольника.

Сформулируйте теорему Фалеса и выполните ее доказательство.

Төмендегі (а-ж) суреттерде AB, BC, CD, DE, EA кесінділерінен құралған фигуралар кескінделген. Олардың қайсысы
a) көпбұрыш болады?
b) дөңес көпбұрыш болады?

Дан треугольник АВС, причем точка Е – середина стороны ВС, а .                         Докажите, что AD=DВ.

Запишите теорему о пропорциональных отрезках, выполните пояснительный чертеж к данной теореме.

Кестені жоғарыдан төмен қарай толтыра отырып, көпбұрыштың ішкі және сыртқы
бұрыштарының қосындысын есептейтін формуланы қорытып шығарыңыз.

На медиане АМ треугольника АВС взята точка К, причем АК:КМ =1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно АС, делит сторону ВС.

Дұрыс көпбұрыштың әрбір бұрышы 144˚. Сыртқы бұрыштардың қосындысы формуласын қолданып, осы көпбұрыштың қабырғаларының санын анықтаңыз.

Токарю необходимо разрезать тонкий металлический стержень на равные части. Как токарю сделать разметки для деления данного стержня на:
а) 3
b) 5
c) 6
равных частей с помощью циркуля и линейки без делений?

Анықтаңыз:
a) сегізбұрышты көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысын;
b) дұрыс бесбұрыштың бір бұрышының градустық мәнін;
c) ішкі бұрыштарының қосындысы 900˚ тең болса, онда көпбұрыштың бұрыштарының санын;

Установите соответствия между рисунками 1-6 и видами фигур a), b), c).

1. a) трапеция;
2. b) равнобокая трапеция;
3. c) прямоугольная трапеция.

Параллелограммның периметрін табыңыз, егер
a) бір қабырғасы екіншісінен 5 см артық болса;
b) бір қабырғасының ұзындығы екіншісінен 3 есе аз болса;
c) қабырғаларының қатынасы 3:5 қатынасындай болса

Разность противолежащих углов равнобокой трапеции равна 60˚. Найдите все углы данной трапеции.

Параллелограммның барлық бұрыштарын табыңыз, егер
a) параллелограммның бір бұрышы екіншісінен 330-қа кем болса;
b) параллелограммның бір бұрышы екіншісінен 5 есе артық болса;
c) параллелограммның екі бұрышының қатынасы 2 және 3 сандарының қатынасына пропорционал.

Диагональ АС делит прямоугольную трапецию АВСD на два треугольника — прямоугольный и равносторонний. Найдите меньшее основание трапеции, если ее большее основание равно 24 см.

Сызбаның көмегімен параллелограммның периметрін табыңыз.

Дано: ∆АВС

КМ АС; ВК=КС.

Доказать: АМ=МС.

Асан ABCD төртбұрышын салды, ал Айгүл KMPN төртбұрышын салды, бірақ олар сызбаларын аяқтап үлгермеді. Төртбұрыштардың қайсысы параллелограмм болуы мүмкін?

Шешуі:
Егер төртбұрыштың _________ қабырғасы __________ және ______________ болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

Егер төртбұрыштың ___________ қабырғалары қос-қостан ________ болса, онда бұл төртбұрыш параллелогамм болады.

KMPN төртбұрышында KM және ________ қарама-қарсы қабырғалары параллель _________, сондықтан бұл төртбұрыш параллелограмм ___________________.

ABCD төртбұрышында AD және _____ қабырғалары параллель, АВ мен_______________________ және тең болса, ABCD төртбұрышы параллелограмм __________________.

Жауабы: ___________ төртбұрышы параллелограмм болуы мүмкін

Стороны треугольника относятся как 5:6:7. Найдите стороны данного треугольника, если периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 36 см.

Сызбадағы төртбұрыштардың параллелограмм болатынын дәлелдеңіз.

Средняя линия трапеции равна 6 см, разность оснований трапеции равна 4 см. Найдите основания трапеции.

Ромбтың диагоналы оның бір бұрышын, бірі екіншісінен 4 есе артық болатындай, бұрыштарға бөледі. Ромбтың барлық бұрыштарын табыңыз.

В трапеции АВСD с основаниями АD=12см и ВС= 8см проведена средняя линия МР, которая пересекает диагональ АС в точке К. Найдите длину отрезков МК и КР.

Егер тіктөртбұрыштың диагональдары перпендикуляр болса, онда тіктөртбұрыштың шаршы болатынын дәлелдеңіз.

Биссектрисы тупых углов равнобокой трапеции пересекаются в точке, лежащей на большем основании трапеции. Меньшее основание трапеции равна 8 см, а боковая сторона – 9 см. Найдите среднюю линию трапеции.

На рисунке четырехугольник ABCD – ромб. Найдите угол А.

A) 24°;
B) 39°;
C) 54°;
D) 62°;
E) 78°.

Тіктөртбұрыш диагональдарының арасындағы бұрыштардың қатысы, 2:7 қатынасындай. Тіктөртбұрыштың диагональдары мен қабырғаларының арасындағы бұрыштарды табыңыз.

В треугольнике АВС проведены медианы АМ и ВТ, которые пересекаются в точке О. Найдите длины отрезков ВО, ОТ, АО, МО, зная, что ВТ=18 см, а АМ=24 см.

В равнобокой трапеции один из углов равен 120°, диагональ трапеции образует с основанием угол 30°. Найдите основания трапеции, если ее боковая сторона равна 8 см.

Аспалы көпірді бекіту кезінде арқандарды орнату үшін үшбұрышты конструкция қолданылды. Бұл үшбұрыштың төбелерін АВС арқылы белгілеп, АВ ретінде конструкцияның 150 м болатын ең ұзын арқанын қабылдайық.
Берілген конструкцияның көлденең бетінде (ВС қабырғасы) басқа арқандарды бекітуге арналған екі нүкте белгіленген, олар осы қабырғаны тең 3 бөлікке бөледі. Осы бекіту нүктелері арқылы өтетін арқандардың ұзындықтарын табыңыз, егер олар АВ қабырғасына параллель орналасқаны белгілі болса.

В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Докажите, что углы ВАО и ВСО равны.

В параллелограмме ABCD угол A равен 60°. Высота BE делит сторону AD на две равные части. Найдите длину диагонали BD, если периметр параллелограмма равен 48 см.

Сторона АВ треугольника АВС равна 12 см. Сторона ВС разделена на 3 равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ. Выполните рисунки и найдите длины отрезков этих прямых, содержащихся между сторонами треугольника.

Серединные перпендикуляры треугольника АВС пересекаются в точке О. Длина отрезка BО равна 40 см. Найдите длины отрезков АО и СО.

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.

Дан правильный пятиугольник, где AFB – равносторонний треугольник.
Найдите ∠BCF .

Дан прямоугольник. Его диагональ образует с меньшей стороной угол, равный 46°.
Найдите угол между диагоналями прямоугольника, лежащий против его большей
стороны.

Биссектриса угла параллелограмма делит сторону параллелограмма на отрезки, равные n и m. Найдите стороны параллелограмма

АВС үшбұрышының АВ және АС қабырғаларынан сәйкесінше Р және К нүктелері алынған. Мұндағы . ВС = 8 екені белгілі болса, РК кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6 см, 9 см, 10 см.

Дана трапеция. Её основания относятся как 3:5. Средняя линия данной трапеции равна
64 см. Найдите длины оснований трапеции

Тікбұрышты трапецияның бір бұрышы 115°-қа тең. Трапецияның қалған бұрыштарын табыңыз.

В ромбе ABCD биссектриса угла ABD проходит через середину стороны AD. Найдите
углы ромба.

Суретте берілген трапецияның периметрін табыңыз

а) Существует ли выпуклый четырехугольник, углы которого равны .

110°, 70°, 155°. Ответ обоснуйте.

b) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160° .

АВС үшбұрышында ВЕ=ЕС, АК=КС екені белгілі. ЕСК үшбұрышының периметрі 15,5 см екені белгілі болса, онда АВС үшбұрышының периметрін табыңыз.

В параллелограмме МKNZ диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ – параллелограмм.

Үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы 5:6:7 қатынасындай. Үшбұрыштың орта сызықтарынан салынған үшбұрыштың периметрі 36 см. Берілген үшбұрыштың қабырғаларын табыңыз.

Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (-1;4), В(3;2), С(1;-3). Найдите острый угол между медианой CF и стороной AC.

Военный вертолет вылетел из точки L (5; -1). Долетев до точки М(2;2), летчик получил приказ лететь в точку К(-3;2). Используя скалярное произведение векторов, определите на сколько градусов вертолет отклонился от первоначального курса.

Четырехугольник АВСD – ромб. Диагональ ВD равна стороне ромба. Найдите угол между
векторами ВА и АD .

Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма АВСD, причем ВМ: МС = 3:1. Выразите
вектор АМ через векторы  ВС = a и  ВА = b.

Четырехугольник АВСD – параллелограмм. Найдите BA — BC + AD  .

О нүктесі – EFGH ромбтың диагональдарының қиылысу нүктесі. Төмендегі шарттарды қанағаттандыратын, бастары мен ұштары ромбтың төбелері және О нүктесі арқылы өтетін векторларды анықтаңыз:

Найдите модуль вектора

Автокөлік оңтүстік-батысқа қарай 20 км, сонан соң батысқа қарай 30 км жүрді. Автокөліктің
жүрген жолын векторлармен бейнелеп, оның алғашқы жүріп шыққан жерінен қаншалықты
алыстағанын анықтаңыз.

Даны векторы Найдите:

a) косинус угла между векторами m и n ;
b) число x, если векторы m и a коллинеарны;
с) число x, если векторы n и a перпендикулярны.

ABCD ромбысында ВС қабырғасынан ВК=3КС болатындай етіп К нүктесі алынған, ал Е
нүктесі – АВ қабырғасының ортасы. DK және DE векторларын DА =m және DC =n
векторлары арқылы жіктеңіз.

М нүктесі AB кесіндісінің ортасы және Х кез-келген нүкте берілсін.

ABCD параллелограмы берілген. AC және DBвекторларын AB мен AD векторлары
бойынша жіктеңіз

ABCD параллелограмм диагональдары О нүктесінде қиылысады. Егер AB = a және AD = b
болса, DC +CB, BO +OC , BO -OC , BA — DA векторларын a және b векторлары арқылы
өрнектеңіз

Берілген суреттен

векторларының арасындағы бұрышты көрсетіңіз

N бұрышы  30° -қа тең. NKLM ромбысының қабырғасы c-ға тең. Есептеңіз:

мұндағы О нүктесі ромбының диагональдарының қиылысу нүктесі

ABC үшбұрышында бұрыш С=90°, ∠А = 30°, АВ = 8. AK және BM медианаларының арасындағы сүйір бұрышының косинусын табыңыз.

Ромб диагональдарының өзара перпендикуляр болатынын дәлелдеңіз

Векторлардың скаляр көбейтіндісін қолданып, кез келген ABCD параллелограмда
??2+??2=2(??2+??2) теңдігінің орындалуын дәлелдеңіз

Көлсай көлінің маңайында жүрген турист А нүктесінде болды, оның картадағы координатасы (-3; -2) нүктесіне сәйкес келеді. Түнде қалуға болатын ең жақын қонақ үйлердің картадағы координаталары B (-2; 2), C (5, 3), D (3; -4) нүктелеріне сәйкес келеді.
a) ??⃗⃗⃗⃗⃗ ,??⃗⃗⃗⃗⃗ және ??⃗⃗⃗⃗⃗ вектордың координаталарын табыңыз; b) Векторлардың ұзындығын есептеп, қандай қонақ үйдің басқаларға қарағанда жақы екенін анықтаңыз; c) Турист қандай нүктенің координатасында болуы керек, сол кезде үш қонақ үйдің қашықтығы бірдей болатындай?

(a, 2) , B (1, 4) нүктелерінің координатасы және |АВ |=2,5 екені берілген. а-ның мәндерін табыңыз.

Кестеде төрт нүктенің координаталары көрсетілген. X нүктесі AB -ның ортасы.
a) А нүктесінің координатасын табыңыз;
b) а- ның қандай мәнінде АВ және СD векторлары коллинеар болады?

а{3; — 9}және b{x; 6} векторлары берілген. х-тің қандай мәнінде векторлар өзара
коллинеар болады?

Используя рисунок, приведите по два примера:
a) равных векторов;
b) коллинеарных векторов;
c) перпендикулярных векторов.

u= {2;3}және v={1;-1} векторлары берілген.
a) 2?⃗ − 3? веторының координатасын табыңыз.
b) |2?⃗ − 3? | векторының ұзындығын табыңыз.
c) n-нің қандай мәнінде d ={n +1;4n + 0.5}векторы ?⃗ векторына коллениар болады?

q ={-5;12}векторымен бағыттас бірлік вектор координатасын табыңыз

Даны точки А(1; 2), В(–3; 0) и С(4; –2). Определите координаты точки D так, чтобы
выполнялось равенство

A(-3;3), B(7;-3), C(2;5) нүктелері берілген.AB векторын AC және ??⃗ векторлары бойынша жіктеңіз.

равностороннем треугольнике АВС: ВD – медиана, АС = 8. Найдите скалярное
произведение

a ={λ -2;4} және b ={3+λ;λ}векторлары берілген. ? -ның қандай мәнінде векторлар өзара
перпендикуляр болады?

Вычислите ВАС треугольника АВС с вершинами A(0;6), B(4;6),

Футболшы Дархан (5; -1) нүктесінен допты командасындағы М (2; 2) нүктесіне тұрған
Мадиярға берді. Мадияр допты алып (-3; 2) нүктесіне тұрған командасындағы ойыншы
Берікке берді. Векторлардың скалярлық көбейтіндісін пайдалану арқылы доптың бастапқы
бағдардан қанша градусқа ауытқуын анықтаңыз

M(-2;1) нүктесі арқылы өтетін және ??⃗⃗⃗⃗⃗ векорына параллель түзу теңдеуін жазыңыз

MKF үшбұрышында ∠???=45° екені белгілі болса, векторлық әдіспен МЕ ұзындығын табыңыз(Е нүктесі KF қабырғасының ортасы).

Асет, Бауыржан и Диас сели на станции метро на две электрички в противоположных направлениях, причем Асет и Диас едут вместе. Скорость электричек при разгоне 45 км/ч. Пусть местоположение мальчиков относительно места посадки через 4 сек соответствует концам векторов ? ⃗ ⃗ ⃗ (Асет), ? ⃗ (Бауржан) и ? (Диас) соответственно. Изобразите схематически движение мальчиков с помощью этих векторов и заполните таблицу, используя соответствующие обозначения и символику.

Соедините стрелками векторы из первого столбца с коллинеарными векторами из второго столбца.

Лебедь, Рак и Щука тянут воз с одинаковой силой F на одной плоскости, причем углы между каждой парой персонажей одинаковые. Объясните, почему воз не трогается с места.

Фрегат «Алые паруса» идет по компасу строго на восток со скоростью ?1, но дует сильный южный ветер со скоростью ?2, а течение сносит фрегат на юго-запад со скоростью ?3. Определите реальный курс фрегата, если ?1 = ?2 = √2?3. Покажите это с помощью векторов.

В ромбе ABCD угол ABC равен 60°, а сторона BC равна 5 см. Заполните таблицу.

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм.

Турист, гуляя в окрестностях Кольсайских озер, оказался в пункте A, координата которого на карте соответствует точке (-3; -2). Ближайшие гостевые дома, где он мог бы остановиться на ночлег, соответствуют на карте точкам B(-2;2), C(5;3), D(3;-4).

1) Найдите координаты векторов ?? ⃗⃗⃗⃗⃗ , ?? ⃗⃗⃗⃗⃗ и ?? ⃗⃗⃗⃗⃗ . 2) Вычислив длины этих векторов, определите, какой гостевой дом находится ближе остальных. 3) В точке с какими координатами должен оказаться турист, чтобы расстояния до всех трех гостевых домов были бы одинаковыми?

Известно, что ? (−7;5),? ⃗ (−6;−8).

1) Найдите координаты вектора ? = −2? +5? ⃗ .

2) При каких значениях k вектор ? (? +1;4? +0,5) будет коллинеарен ? ?