СОР № 1 Геометрия 9 класс Прямоугольная система координат и векторы в пространстве

Прямоугольная система координат и векторы в пространстве

Задание:

Напишите уравнение сферы, которая проходит через точки с координатами (0;0;0),(0;1;0),(0;1;0),(1;0;0).

Решение:

Сфера, имеющая центр O(a,b,c) и радиус R, определяется уравнением 

Сфера однозначно определяется 4 точками на её поверхности, не лежащими в одной плоскости.

Рассмотрим точки A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,1), B'(1,0,1), C'(1,1,1), D'(0,1,1). Это вершины куба ABCDA’B’C’D’ и сфера проходит через 4 его вершины A, B, D, A’, не лежащие в одной грани. А значит, сфера является описанной для этого куба и её центр совпадает с центром куба.

Центр O куба имеет координаты (1/2,1/2,1/2) (например, как полусумма координат концов большой диагонали A(0,0,0) и C'(1,1,1) ). Радиус сферы равен половине большой диагонали куба и равен √3/2. Следовательно, уравнение сферы примет вид