СОР № 1 Геометрия 10ОГН класс Угол в пространстве. Расстояние в пространстве

Угол в пространстве. Расстояние в пространстве

Задание:

Диагонали ромба ABCD равны 12 см и 16 см. Точка O, расположенная вне плоскости ромба, удалена от всех сторон ромба на 8 см. Найдите расстояние от точки O до плоскости ромба.

Решение:

Пусть МО — перпендикуляр к плоскости ромба.

В ромбе проведем ОК, ОН, ОР и ОТ  — перпендикуляры к соответствующим сторонам ромба. Эти отрезки — проекции наклонных МК, МН, МР и МТ на плоскость ромба. По теореме о трех перпендикулярах наклонные так же перпендикулярны сторонам ромба.
Расстояние от точки М до стороны ромба — длина перпендикуляра, проведенного из точки М к стороне.
Значит МК = МН = МР = МТ = 8 см — расстояния от точки М до сторон ромба.

На рисунке красные треугольники равны по гипотенузе и катету (МК = МН = МР = МТ по условию, МО — общий катет) , значит
ОН = ОК = ОР = ОТ , тогда точка О — центр окружности, вписанной в ромб, значит О совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам:
АО = АС/2 = 8 см
ВО = BD/2 = 6 см
ΔАОВ: по теореме Пифагора АВ = √(АО² + ВО²) = √(64 + 36) = 10 см
Saob = 1/2 · AO · BO = 1/2 · AB · OK
8 · 6 = 10 · OK
OK = 8 · 6 / 10 = 4,8  см

ΔМОК: по теореме Пифагора
МО = √(МК² — ОК²) = √(64 — 23,04) = √40,96 = 6,4 см